变换

坐标刻度单位取 1。原点 \(O(0,0)\) 处画出单位向量 \(\mathbf e_x\) 与 \(\mathbf e_y\)。从原点分别指向 A(2,1)、B(1,2)、C(3,3) 的向量以不同颜色表示，并为每个点画出到坐标轴的虚线投影。

我们把“变换”理解为：把一个对象换一种表示的规则。 在平面直角坐标系中，向量 a 的“图像表示”是平面上的一根箭头， 而“数值表示”是它的坐标对。这个把图变成数的规则就是一个（坐标）变换：

\(T:\ \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2,\quad \vec v \mapsto [x,y]^\top\)

• 例：\(a=(2,1)\), \(b=(1,2)\)。它们原本是“图”，经 坐标变换 变成“数” \([2,1]^\top,[1,2]^\top\)。
• 逆变换 \(T^{-1}\) 则把 \([x,y]^\top\) 重新绘成平面上的箭头。

图上操作 ↔ 数上运算

平行四边形法则：以 \(a,b\) 为邻边的对角线向量为 \(c=a+b\)。 在“数”的世界就是坐标相加：

\([c]=[a]+[b]=\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}3\\3\end{bmatrix}\).

这说明一个好处：某些几何问题在“图”上不好做，但在“数”上（坐标运算）非常直接。

基、坐标与线性展开

选择一组基向量 \(\{\mathbf e_x,\mathbf e_y\}\)（图上就是 x、y 方向的单位箭头）。任意向量都可写成基的线性组合：

\(\vec v = x\,\mathbf e_x + y\,\mathbf e_y,\quad [\vec v]_{\{\mathbf e\}}=\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}\).

• \(a=2\,\mathbf e_x+1\,\mathbf e_y\Rightarrow [a]=[2,1]^\top\)
• \(b=1\,\mathbf e_x+2\,\mathbf e_y\Rightarrow [b]=[1,2]^\top\)
• \(c=3\,\mathbf e_x+3\,\mathbf e_y\Rightarrow [c]=[3,3]^\top\)

标准正交基与内积

若 \(\langle \mathbf e_x,\mathbf e_x\rangle=\langle \mathbf e_y,\mathbf e_y\rangle=1\)， \(\langle \mathbf e_x,\mathbf e_y\rangle=0\)，则 \(\{\mathbf e_x,\mathbf e_y\}\) 是标准正交基（ONB）。 在 ONB 下：

• 坐标可由内积直接读出： \(x=\langle \vec v,\mathbf e_x\rangle,\quad y=\langle \vec v,\mathbf e_y\rangle\)。
• 投影： \(\mathrm{proj}_{\mathbf e_x}(\vec v)=\langle \vec v,\mathbf e_x\rangle\,\mathbf e_x\)， \(\mathrm{proj}_{\mathbf e_y}(\vec v)=\langle \vec v,\mathbf e_y\rangle\,\mathbf e_y\)。
• 长度（勾股）： \(\|\vec v\|^2=\langle \vec v,\vec v\rangle=x^2+y^2\)。

把“变换”写成矩阵

基固定后，任何线性变换 \(T\) 都可写为矩阵 \(A\)：\([v’] = A[v]\)。 这一步是从“图上拉伸/旋转/投影”等几何动作，过渡到“数上矩阵乘法”的桥梁。

小结（为后续傅里叶变换埋钩子）

1. “变换”就是换一种表示；在平面向量里，最自然的变换就是“图 ↔ 数（坐标）”。
2. 有了基（尤其是正交规范基），坐标获取、投影、长度运算都统一到“内积”上。
3. 几何操作在“数”的世界对应为线性代数运算（向量加法、矩阵乘法）。
4. 后面把“基”从 \(\{\mathbf e_x,\mathbf e_y\}\) 换成一族“波形基”（正弦/余弦或复指数）， 同样的思想就会带我们走到：把“图像/信号”表示成“频率坐标”的变换——这就是傅里叶变换。

傅里叶级数

把时域信号“换一种表示”

和前面“向量：图 ↔ 数”的思路一致，周期信号也可以“变换”为另一种表示： 不再用“随时间的波形”来描述，而是用“若干固定频率的正弦/余弦分量”的 线性组合 来描述。这就是傅里叶的核心思想—— 把时域信号拆成很多个不同频率的基函数，并且还能通过反变换再拼回原信号。

1) 相位式表示（更贴近“频率+振幅+相位”三要素）

\[ f(t)\;=\;\frac{A_0}{2}\;+\;\sum_{n=1}^{\infty} A_n\, \sin\!\big(n\omega_0 t\;+\;\varphi_n\big),\qquad \omega_0=\frac{2\pi}{T}. \]

• \(n=1,2,3,\dots\) 为谐波序号；每一项对应频率 \(n\omega_0\)。
• \(A_n\) 是该频率分量的振幅，\(\varphi_n\) 是该分量的相位。
• 因此每个“谱线”提供三类信息：频率 \(n\omega_0\)、振幅 \(A_n\)、相位 \(\varphi_n\)。

2) 正交分解式（正弦 + 余弦）

\[ f(t)\;=\;\frac{a_0}{2}\;+\;\sum_{n=1}^{\infty}\Big( a_n\cos n\omega_0 t\;+\; b_n\sin n\omega_0 t \Big). \]

这一写法把“奇偶性/对称性”看得更清楚：偶对称时多余弦项，奇对称时多正弦项。 两种写法可以互相换算（把 \(\sin(n\omega_0 t+\varphi_n)\) 展开即可）：

\[ A_n\sin(n\omega_0 t+\varphi_n) = (A_n\sin\varphi_n)\cos n\omega_0 t + (A_n\cos\varphi_n)\sin n\omega_0 t, \] \[ \Rightarrow\quad a_n = A_n\sin\varphi_n,\qquad b_n = A_n\cos\varphi_n, \] \[ A_n=\sqrt{a_n^2+b_n^2},\qquad \varphi_n=\operatorname{atan2}(a_n,\;b_n). \]

3) “标准正交基”的视角

在一个周期内（长度 \(T\)），常数函数 \(1\)、以及所有 \(\sin(n\omega_0 t)\)、\(\cos(n\omega_0 t)\) 组成了一组标准正交基（在合适的内积下两两正交、自己与自己归一）。 直观讲：彼此“对齐”程度为零，因此同一信号在这一组基上的投影就是傅里叶系数。 这里的“内积”用积分来定义（不展开公式细节，记住“本质是投影/匹配”即可）。

正交性示意（在一个周期上积分）：不同频率正弦/余弦的内积为 0， 同频率同类型内积为常数；因此“只会投影到同频率的那个基函数上”。

4) 怎么“读谱”与“反变换”

• 读谱：看频域茎状图上第 \(n\) 根谱线的位置 \(n\omega_0\)（频率）、高度 \(A_n\)（振幅）以及相位 \(\varphi_n\)。
• 反变换：把所有分量按上述两种公式加起来（线性叠加），就能回到原始的时域波形—— 和“向量坐标恢复几何箭头”完全同构。

5) 一句话记忆

傅里叶级数 = 把周期信号用一组固定频率的正弦/余弦做线性展开； 系数告诉我们每个频率“有多少、怎么起步（相位）”；时域与频域之间可以互相变换。

傅里叶变换

1. 直觉：把时域轨迹换成“频率坐标”。\(|F(\omega)|\) 表示该频率有多少，\(\arg F(\omega)\) 表示起步时刻/相位。
2. 为什么能“摘”：\(\int f(t)e^{-i\omega t}dt\) 是对基 \(e^{i\omega t}\) 的投影；同频积累、异频相消。
3. 快速记性质：线性；时移 \(f(t-t_0)\!\Rightarrow\!e^{-i\omega t_0}F\)；缩放 \(f(at)\!\Rightarrow\!\tfrac{1}{|a|}F(\omega/a)\)；调制 \(f(t)e^{i\omega_0 t}\!\Rightarrow\!F(\omega-\omega_0)\)。
4. 卷积/乘积：\(f*g \;\Leftrightarrow\; FG\)；\(fg \;\Leftrightarrow\; \dfrac{1}{2\pi}F*G\)。一边简单、另一边就复杂。
5. 对称性（实信号）：\(F(-\omega)=\overline{F(\omega)}\)；偶函数→谱为实偶，奇函数→谱为纯虚奇。
6. 从级数到变换：周期信号→离散谱；当周期 \(T\!\to\!\infty\)（\(\omega_0\!\to\!0\)），谱线变密→得到连续谱（本页曲线）。

读谱小抄：先看峰的位置（频率），再看高度（幅度/能量），最后看 \(\arg F\)（相位）。只看幅度常会误判！