FMCW 雷达 · 到达角（AoA）估计
之前的内容聚焦于距离和速度。本节引入第三个维度： 角度（Angle of Arrival, AoA）。 我们关心：雷达如何估计目标的入射角？多个目标角度不同但距离/速度可能相同时该如何区分？ 角度视场与角分辨率受哪些因素决定？
1）回顾：距离微变引起的相位变化
对单目标，IF 信号峰值的相位对距离非常敏感。目标距离发生微小变化 \(\Delta d\) （对应往返路径变化）时，相位变化为：
2）角度估计的基本思路（至少 2 个 RX）
角度估计利用两个接收天线到同一目标的几何路径差。 设目标到 RX1 与 RX2 的路程差为 \(\Delta d\)，则同一“范围-速度峰”处两通道的相位差：
若相邻 RX 天线间距为 \(d\)，且目标足够远（平面波近似），则 \(\Delta d = d\sin\theta\)。 于是：
为何 \(\tfrac{4\pi\Delta d}{\lambda}\) 与 \(\tfrac{2\pi\Delta d}{\lambda}\) 相差 2？ 前者源于距离微变带来的往返路径相位变化（TX→目标→RX）， 后者比较的是同一时刻两只 RX的单程几何路径差。
3）流程要点
TX 发送一帧等间隔 chirp；各 RX 分别做 Range-FFT 与 Doppler-FFT，锁定同一目标的范围-速度峰。
跨 RX 在该峰处读取复数值并求相位差 \(\Delta\phi\)，用 \(\displaystyle \theta=\sin^{-1}\!\left(\frac{\lambda\,\Delta\phi}{2\pi d}\right)\) 反解 AoA。
4）视场与分辨率（补充）
- 无模糊约束：\(|\Delta\phi|<\pi \Rightarrow |d\sin\theta|<\tfrac{\lambda}{2}\)。 惯常取阵元间距 \(d\le \lambda/2\) 以获得近 \(\pm90^\circ\) 的无模糊视场。
- 角分辨率 \(\propto \lambda/D\)，其中 \(D\approx (N-1)d\) 为阵列有效孔径； 更多通道/更大孔径 → 更好的角分辨率。
角度估计的非线性与敏感度
角度估计基于峰值相位差与入射角的关系： \[ \Delta\phi=\frac{2\pi d\sin\theta}{\lambda} \] 由于包含 \(\sin\theta\)，这是一个非线性关系（不同于速度估计 \(\Delta\phi=\tfrac{4\pi vT_c}{\lambda}\) 的线性关系，以及距离与 IF 频率的线性关系）。
灵敏度可由对 \(\theta\) 的一阶导数刻画： \[ \frac{d(\Delta\phi)}{d\theta}=\frac{2\pi d}{\lambda}\cos\theta \] 因而在 \(\theta\approx 0^\circ\) 时，\(\cos\theta\approx 1\)，相位对角度最敏感； 随着 \(\theta\) 增大，\(\cos\theta\) 下降，灵敏度降低； 当 \(\theta\to 90^\circ\) 时，\(\cos\theta\to 0\)，灵敏度趋近于零，角度估计最易受噪声影响。
- 最佳工作区间：\(\theta\) 近 0°（目标在雷达正前方），估计精度最高。
- 劣化区间：\(\theta\) 接近 90° 时，\(\sin\theta\) 对 \(\theta\) 的变化不敏感，误差放大。
- 提高精度的思路：增大阵元间距/虚拟孔径（受 无模糊视场 约束）、 提高 SNR、增加快拍数做稳健估计。
最大无歧义视场（FoV）与天线间距
两根接收天线间距为 d，同一目标在两天线的 2D-FFT 峰值存在相位差 \(\;\Delta\phi=\dfrac{2\pi d\sin\theta}{\lambda}\;\)。 为避免角度歧义，跨天线的相位变化必须满足 \(|\Delta\phi|<\pi\)。
由此得到最大可无歧义测得的视场角（左右对称）： \[ |\Delta\phi|<\pi \;\Rightarrow\; \theta_{\max}=\sin^{-1}\!\left(\frac{\lambda}{2d}\right). \]
- 当 \(d=\dfrac{\lambda}{2}\) 时，\(\;\theta_{\max}=\sin^{-1}(1)=90^\circ\)， 可获得最大的可测视场（约 \(\pm90^\circ\)）。
- 若 \(d>\dfrac{\lambda}{2}\)，会出现角度模糊（栅瓣/混叠）； 若 \(d<\dfrac{\lambda}{2}\)，虽无歧义但可测视场将变小。
- 此约束类似“最大速度”限制：它由 跨阵元相位变化不超过 π 的判据决定。
角度 FFT、角分辨率与速度估计的类比
当存在两个目标且距离与速度相同时，它们在各 RX 天线的 2D-FFT 中落在同一“范围-速度”峰上。 将 N 个 RX 天线在该峰处的复数值按天线索引组成序列， 对该序列做一次 FFT（称为 Angle-FFT）， 即可分离出不同到达角对应的两个离散角频率 \(\omega_1,\omega_2\)。
Angle-FFT 的角分辨率由阵列长度决定。两目标夹角为 \(\Delta\theta\) 时，其可分辨条件为 \(\Delta(\Delta\phi)> \tfrac{2\pi}{N}\)（离散傅里叶性质），推得角分辨率：
常见标注在 \(d=\lambda/2,\ \theta\approx 0^\circ\) 时：
最大无歧义视场（FoV）由跨天线相位差 \(|\Delta\phi|<\pi\) 给出：
- 角度估计（Angle-FFT）：利用空间上分离的天线引起的相位差； 分辨率 \(\propto 1/(N d)\)。
- 速度估计（Doppler-FFT）：利用时间上分离的 chirp 引起的相位差； \(\;v_{\rm res}=\dfrac{\lambda}{2T_f}\)，\(\;v_{\max}=\dfrac{\lambda}{4T_c}\)。
角度估计总体流程
在 FMCW 雷达中，本地振荡器（LO/synth）产生线性调频脉冲（chirp）， 由 TX 天线发射；目标回波分别被多路 RX 天线接收。 每路 RX 将回波与同一 LO 混频得到 IF 信号，经 低通滤波（LPF）后进入 ADC 采样，形成一帧数据。
对每路 RX 的整帧数据，先沿快时间（每个 chirp 内）做 Range-FFT， 再沿慢时间（跨 chirp）做 Doppler-FFT，得到该路 RX 的二维谱图 （range × velocity）。二维谱图中的峰值位置给出物体的距离与速度。
Angle-FFT：跨天线峰值相位 → 入射角
由于同一目标在不同 RX 天线上的几何路径不同，导致二维峰值处的复数相位不同。 将各 RX 在同一（range, velocity）峰的复数值按天线索引组成序列， 对该序列做 Angle-FFT：
- Angle-FFT 的峰位置对应不同目标的离散角频率（与 AoA 成函数关系）。
- 对均匀线阵，峰值相位差满足 \(\;\Delta\phi=\dfrac{2\pi d\sin\theta}{\lambda}\;\)， 据此可反解角度 \(\;\theta=\sin^{-1}\!\big(\dfrac{\lambda\,\Delta\phi}{2\pi d}\big)\;\)。
一步步信号链
- LO 产生 chirp → TX 发射。
- 多个 RX 接收同一目标回波，与 LO 混频得到 IF。
- IF → LPF → ADC，得到每路 RX 的一帧采样矩阵。
- 每路 RX：Range-FFT → Doppler-FFT → 得到 range × velocity 峰。
- 跨 RX：抽取同一峰的复数值做 Angle-FFT → 峰位置/相位差 → AoA。
要点与设计提示
- 多 RX 天线是角度估计的前提（至少 2 个）；阵列长度越大，角分辨率越好。
- 为避免角度模糊，常取阵元间距 \(d\le \lambda/2\)，可获得近 \(\pm 90^\circ\) 的最大无歧义视场。
- 实际精度还取决于 SNR、标定（幅相一致性）与 Angle-FFT 的快拍数量（RX 数）。
