FMCW 雷达的离散信号频率分辨率

在FMCW雷达中，我们通过离散傅里叶变换（FFT）将信号转换为频域，从而得到物体的距离信息。不同的频率分量通过FFT展现为频谱中的峰。

在该图中，我们看到了两个频率为 ω₁ 和 ω₂ 的旋转相量。假设ω₁ = 0, ω₂ = π/N，即在N个样本中，第二个相量比第一个相量多旋转了半个周期。

当样本数量从 N 增加到 2N 时，第二个相量比第一个相量旋转了完整的2π周期，两个频率在频域中被清晰区分。

连续与离散信号的分辨率比较

对于连续信号，两个频率之间的分辨率可以通过下列公式获得：

其中，Δf 为分辨率，T 为观察窗口的时间。

对于离散信号，两个离散频率之间的分辨率可以通过下列公式获得：

其中，Δω 为分辨率，N 为观察样本数。这个值也等同于：

因此，连续信号的分辨率与观察时间 T 成反比，而离散信号的分辨率与观察样本数 N 成反比。

从这两个公式中可以看出，增加观察时间（即增加 T）或增加样本数（即增加 N）有助于提高频率分辨率，从而使雷达能够区分更接近的目标。

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⚠️ 注意：单位差异

虽然两个公式形式上类似，但它们的单位并不相同，必须区分：

• 连续信号： Δf 的单位为 Hz（赫兹），表示每秒的频率间隔。
• 离散信号： Δω 的单位为 弧度/样本（rad/sample），这是角频率单位。
• 如果使用归一化频率（不带弧度），则分辨率可写为 Δf_norm = 1 / N，单位为 周期/样本（cycles/sample）。

因此，Δf = 1/T 和 Δω = 2π/N 在形式上相似，但它们所表示的物理意义和单位不同，不能直接进行数值比较。只有在知道采样率 f_s 的情况下，才能将离散信号的分辨率换算成赫兹形式：

这时，两者的关系就统一为：频率分辨率与观测时长（或样本数）成反比。

FMCW 雷达测速原理

现在我们已经掌握了理解 FMCW 雷达如何测量物体速度的基本原理。基本的思想如下：

• 你发送两个脉冲信号，它们之间的时间间隔为 Tc。
• 这两个脉冲信号的范围 FFT（快速傅里叶变换）会在同一位置有峰值，但相位不同。
• 测量两个峰值的相位差（ω），这个相位差将直接与物体的运动相关。

假设物体的速度为 v，那么物体在时间 Tc 内移动的距离为 vTc。

相位差与速度的关系

相位差 ω 与物体移动的距离之间的关系由以下公式给出：

其中，Δφ 是相位差，Δd 是物体在时间 Tc 内移动的距离，λ 是信号的波长。

通过调整公式，可以直接从测量的相位差估算物体的速度：

关键点是，通过测量两个连续脉冲信号的相位差，我们可以估算出物体的速度。这种相位差的测量方法在 FMCW 雷达中用于获取动态目标的速度信息。

FMCW雷达最大速度测量

根据我们刚刚介绍的方法，通过测量相位差来估算物体的速度。然而，使用这种方法有一个限制：当相位差超过±180度（即±π弧度）时，测量结果会出现歧义。

最大速度测量的限制

图示中展示了当物体的速度较高时，如何影响相位的变化。假设有两个脉冲信号之间的相位差，如果物体的速度足够大，使得相位差超过180度，就会发生歧义。例如，图中所示，物体可能在逆时针方向移动了角度a，也可能在顺时针方向移动了角度b，但两者产生的相位差是相同的。

为了避免这种歧义，相位差需要在±π弧度内。即相位差的变化必须小于π，从而可以得出以下关于最大速度的公式：

其中，v 为物体的速度，λ 为信号波长，Tc 为两个脉冲之间的时间间隔。也就是说，如果相位差大于180度（即超出了±π弧度范围），则无法明确判断物体的速度。

最大相对速度的计算公式是：

因此，为了能够测量更高的最大速度，两个脉冲之间需要更短的时间间隔（更紧密地间隔）。

使用 Doppler FFT 测量多个目标的速度

在上一节中，我们已经学习了如何测量一个物体的速度。现在，我们将讨论如何测量多个物体的速度。如果多个物体位于雷达相同的距离处，但它们具有不同的速度，该如何处理呢？